Los sorprendentes alicatados no periódicos
En esta mesa se propone construir un sorprendente alicatado. Hay que colocar las piezas de forma que las curvas y los colores conecten bien. Entonces se comprueba que se crea un alicatado no periódico. Comprobaron que a pesar de que se llegue a un punto donde no se puede seguir si se vuelve atrás sacando piezas ya colocadas, siempre podemos engrandecer el mosaico.
Que el alicatado sea no periódico quiere decir, en otras palabras, que una copia desplazada no coincidirá nunca con la original. Además, es autosimilar , los mismos patrones pentagonales aparecen a escala mayor.
- Ubicación: Sala Martin Gardner
- Edad mínima: a partir de 6 años.
- Tiempo requerido: 5-10 minutos.
- Número de participantes: Una persona o más
- Palabras clave: mosaico, alicatado periódico, razón áurea
- Taxonomía: Geometría
Intuitivamente, cuando nos imaginamos un alicatado nos viene a la cabeza una estructura periódica. Es por ello que cuando en 1975 Martin Gardner dio a conocer estos mosaicos descubiertos por el matemático, y físico inglés Roger Penrose, la admiración y sorpresa fueron generales.
Las dos tessel·les fueron llamadas por Penrose como "kites" (estels) y "darts" (flechas). L'estel es un cuadrilátero convexo de ángulos 72º, 72º,72º y 144º y la flecha un cuadrilátero cóncavo de ángulos interiores 36º, 72º, 36º, 216º. Se pueden construir a partir del llamado pentagrama pitagórico, símbolo de su secta.
Al inicio de la construcción del mosaico, se crea un núcleo central con 5 tesel·les con simetría pentagonal utilizando el ángulo de 72º o 360º/5. Solo hay dos modelos que permitan seguir. Se llama "Sol" y "Estrella". Proveídos.
Las áreas de las dos piezas están en relación áurea
\frac{superficie-estel}{superficie-dard}= \frac{0,5878}{0.3633}=\phi =1,618… i
Penrose descubrió una forma de modificar uno de estos alicatados para hacer otro con piezas más grandes. Lo llamó inflación.
La inflación consiste, tal y como muestra el dibujo, en partir por la mitad las flechas y unirlas de la forma indicada, de esta manera se obtiene la flecha y el dardo marcados con verde, que son el doble de las originales. Este proceso puede repetirse indefinidamente y también hacerse en sentido contrario consiguiendo piezas la mitad de las originales, entonces se llama deflación.
Otros módulos
En este módulo las circunferencias de diferentes tamaños pueden rodar sobre otro fijo, los engranajes permiten hacerlo sin resbalar. Las curvas obtenidas son hipocicloides (si se enrollan en el interior) e hipocicloides (si se enrollan por fuera). Dependiendo de los tamaños relativos de la circunferencia fija y de la que rueda, se obtienen los diferentes tipos de estas curvas.
Las 5 piezas de madera de diferentes tonalidades con las que se construye este cono muestran los 4 tipos de secciones: Circunferencia, elipse, parábola e hipérbola.
La primera parte consiste en un engranaje de 50 dientes en cuyo interior se puede girar un círculo de 25 dientes, los 5 puntos de color del círculo siguen los 5 diámetros. La segunda parte es una pieza pentagonal con los 5 vértices de color situados en la misma posición que antes. El pentágono puede girar suavemente gracias a los cordones insertados en las trincheras construidas como los diámetros de la primera parte.