Pone las caras de los poliedros de forma que los colores de las caras en contacto coincidan
- Ubicación: Sala Martin Gardner
- Edad mínima: a partir de 6 años.
- Tiempo requerido: 5 minutos cada uno
- Número de participantes: Una o más personas
- Palabras clave: permutaciones, cubo, dodecaedro
- Taxonomía: Geometría, Combinatoria
La coincidencia de colores está en los vértices
La coincidencia de colores está en las aristas
¿Cómo se pueden combinar los colores en las caras?
El cas del cub
En el caso del cubo, resulta que las permutaciones circulares de 4 elementos son justamente 6. Puedes poner ordenadas sobre la mesa las 6 caras con un color siempre en la parte de encima para ver que efectivamente no existe una forma diferente de estas 6 de ordenar los 4 colores.
Coincide en que el cubo tiene también seis caras y que es posible reconstruirlo con estos seis cuadrados de forma que coincidan los colores.
Una vez resuelto, fijate: ¿Cómo son las caras opuestas?
El cas del dodecaedre
En el cas del dodecaedre, les permutacions circulars de 5 elements són 24.
Podem sempre fixar un dels 5 colors en una posició. Ens queden 4 colors per combinar de totes les maneres possibles en les altres posicions, això són les permutacions de 4 elements que es calculen amb la clàssica fórmula de factorial de 4 4! = 4·3·2·1 = 24
Com que el dodecaedre té 12 cares, sols utilitzem la meitat de les cares possibles.
Trabajando ordenadamente de forma metódica es posible reconstruir el dodecaedro en pocos minutos. Una vez resuelto fijate como las caras opuestas son simétricas. Así pues, las 12 caras escogidas se pueden emparejar cada una con su simétrica.
En matemàtiques anomenem transposició al moviment consistent en intercanviar dos elements d’un conjunt ordenat. Sempre es pot passar d’una ordenació a una altra fent les transposicions que calgui.
Agafa dues cares qualssevol, pensa: Quines parelles de colors cal transposar per passar d’una cara a l’altra? Quantes transposicions has fet?
Comprovaràs que sempre ens han estat necessaris fer un nombre parell de transposicions. No trobaràs dues cares que es distingeixin sols per tenir dos colors intercanviats. Això és un resultat de la teoria matemàtica de grups!
El conjunt de les 24 cares amb totes les permutacions circulars de 5 colors s’anomena en matemàtiques grup simètric S4 . Té 12 elements amb paritat parella (l’element de referència i els que s’obtenen d’ell amb un nombre parell de transposicions) i 12 elements de paritat senar.
Les 12 cares on el que es demana és fer coincidir el color de les arestes. El repte de fer coincidir els vèrtexs seria similar amb una petita rotació.
Les 12 permutacions que no hem utilitzat i amb les que també podrien vestir el dodecaedre. S’han obtingut de les permutacions de l’esquerra intercanviant (transposant) el verd i el blau.