Els barrets i els espectres d'Einstein - Museu de Matemàtiques de Catalunya

Amb aquestes peces pots enrajolar tot el pla, però només de forma no periòdica.

Són la solució del problema conegut com a EIN STEIN (una pedra)
El març de 2023 es va trobar el polígon en forma de barret. Aquest polígon
i el seu simètric (les peces grises) omplen el pla no periòdicament.
Pocs mesos després es va trobar la rajola en forma d’espectre que tota sola omple el pla.

Quin és el "Problema d'Einstein"?

Es coneix amb aquest nom el problema, que consisteix a trobar una única tessel·la que enrajoli el pla de forma no periòdica.

El nom d’Einstein no té res a veure amb el conegut físic. Només és un joc de paraules en alemany, ja que ein Stein significa “una pedra” en aquest idioma.

Aquest problema va estar obert molt temps, es tractava de trobar una rajola amb aquesta característica o bé demostrar que no podia existir.

Què és una tessel·lació no periòdica?

La majoria dels enrajolats o tessel·lacions del pla que veiem són periòdics, això significa que pots traslladar una còpia de l’enrajolat sencer fins a fer-la coincidir un altre cop amb ell mateix.

Els barrets i els espectres d’Einstein poden recobrir tot el pla, però cap enrajolat format per ells serà periòdic. Les tessel·lacions amb aquesta propietat s’anomenen “no periòdiques” o “aperiòdiques”

La història d'aquesta descoberta. Primera part

El polígon de 13 costats en forma de barret va ser descobert el novembre del 2022 per David Smith, un jubilat no matemàtic del nord d’Anglaterra. Sospitant que podria ser la solució del problema EIN STEIN va contactar amb els matemàtics Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan i Chaim Goodman-Strauss, que efectivament ho varen demostrar.

El març del 2023, va esclatar la gran notícia amb la publicació d’aquest article, on es donen dues demostracions i on s’explica que aquest polígon forma part d’una família infinita de polígons que enrajolen el pla de forma no periòdica.

Però el problema no estava completament resolt, resulta que per completar l’enrajolat de tant en tant no queda més remei que fer servir la peça simètrica, és a dir donar la volta a la peça. Així, si el barret i el seu simètric es consideren formes diferents, el problema EIN STEIN una peça no estava del tot resolt.

Podeu apilar els barrets del museu per comprovar que tots els colors tenen la mateixa forma excepte els grisos que cal girar-los.

Animació extreta de https://youtu.be/W-ECvtIA-5A del canal de Craig S. Kaplan, que mostra de forma contínua la família de polígons d’aquesta descoberta que enrajolen el pla de forma no periòdica.

La història d'aquesta descoberta. Segona part

Poc temps després, el mateix equip que va descobrir els barrets va tornar a sorprendre a tothom amb la publicació d’un nou article on es presentava la resolució completa del problema.

Un dels polígons de la família descoberta anteriorment no necessita la seva forma simètrica per enrajolar. Llavors modificant els costats substituint-lo per una forma no simètrica, en aquest cas una ona sinusoidal, s’obliga sempre a posar la peça del mateix costat.

Quina és la forma exacta dels barrets i els espectres d'Einstein?

El barret és un polígon còncau de 13 costats format la unió de 5 triangles equilàters i 6 meitats de triangles equilàters.

Els nusos dibuixats en la versió exposada al MMACA són una forma senzilla de distingir els costats de valor √3. Aquesta decoració és opcional, si es giren totes les peces, es pot fer servir la cara llisa. Les peces de color gris són simètriques de totes les altres.

Aquesta animació mostra la transició del barret a l’espectre sense sinusoide.
Podeu treballar-la a la web del Geogebra