La semblança en una, dues i tres dimensions
La semblança en una, dues i tres dimensions
Aquest mòdul consta de 6 apartats que convé veure ordenadament de forma seqüencial començant per les circumferències amb cadeneta.
Veieu les diapositives i les explicacions detallades a continuació
- Ubicació: Sala Pere Puig Adam
- Edat mínima: a partir de 10 anys.
- Temps requerit: 10 minuts.
- Nombre de participants: Una o més persones
- Paraules clau: escala, proporció, superfícies, volums
- Taxonomia: GEOMETRIA
1r Què té més longitud, una circumferència de 30 cm de diàmetre o dues de 15 cm.
Si fem servir el cordó per encaixar-lo, per una banda, a la circumferència gran i per altra a les dues petites conclourem que la resposta és: tenen la mateixa longitud.
2n Què té més longitud, una circumferència de 30 cm de diàmetre o la suma d’una de 10 cm i una de 20 cm de diàmetre?
El mateix que en l’apartat anterior, si fem servir el cordó per encaixar-lo a les circumferències, conclourem, que la resposta és: tenen la mateixa longitud.
3r Per on passarà més aire, per un tub de 20 cm o per dos de 10 cm de diàmetre?
La tendència inicial, alimentada pel resultat dels reptes dels apartats anterior, és decantar-se per la igualtat.
Tanmateix, i reflexionant alhora que veient les seccions dels tubs del següent apartat la resposta és: Passarà més aire pel tub de 40 cm.
4t Quantes vegades la secció del tub gran és més gran que la del petit. Mesura-ho amb boletes.
Després de conjecturar, es poden mesurar les 4 àrees d’una manera experimental emprant una estranya unitat, el cigró. Emplenarem la secció interior del tub petit amb cigrons (evitant forats i superposicions) i després situarem els mateixos cigrons en un dels dos espais que queden entre els tubs petits i el tub gran i descobrirem amb sorpresa que les dues àrees són iguals . D’aquesta manera la resposta és: Quatre
5è Quants cilindres de 30 mm de diàmetre ens caldran per equilibrar un cilindre de 60 mm de diàmetre?
Tenint en compte que l’altura és la mateixa tant pels cilindres grans com pels petits, i tenin present el resultat anterior, es clar que: caldran 4 cilindres petits.
6è Quantes esferes de 40 mm de diàmetre ens caldran per equilibrar una esfera de 80 mm de diàmetre?
Ara, hi ha esferes en lloc de cilindres. Tot i que les conjectures inicials solen ser diverses: 4, 6, 8. Emprant la balança s’observa que calen 8 esferes petites per a equilibrar la gran.
Explicació d'aquests resultats:
Existeix per descomptat una explicació a partir de les fórmules del volum de l’esfera, de la superfície del cercle i de la longitud de la circumferència (veieu l’article de l’Anton Aubanell).
Però hi ha una forma d’entendre-ho de forma intuïtiva:
Els objectes que hem comparat tenen una proporció 1:2
En el cas de la circumferència, tots els elements longitudinals (d’una dimensió) com radi, diàmetre, arcs, perímetre, mantindran aquesta la proporció, seran el doble.
En el cas del cercle, el concepte de superfície és un element de dues dimensions, per tant, cal multiplicar l’increment d’una direcció pel mateix increment en l’altre 2×2=4. Les superfícies es multipliquen per 4.
En el cas de l’esfera, el concepte de volum és un element de tres dimensions, en conseqüència, cal multiplicar tres cops l’increment d’una direcció. La relació de volums és 2x2x2=8. Els volums es multipliquen per 8.