El naixement de les primeres cultures urbanes.
Mesopotàmia, és la regió de l’oest d’Àsia entre els rius Tigris i Eufrates, a actual Iraq. A causa de la seva posició geogràfica cruïlla de rutes entre la mar Roja, Mediterrania, Negre, Caspia, i el golf Pèrsic, i de la seva riquesa agrícola, és on a partir del 3r mil·lenni aC van sorgir les primeres ciutats-estats.
Coneixem bé aquestes civilitzacions gràcies al fet que hem aconseguit desxifrar la seva escriptura. És l’escriptura cuneïforme consistent en incisions o marques sobre tauletes d’argila que s’obtenien fàcilment enfonsant un bastonet sobre el fang tou. Aquests escrits han perdurat en el temps per sobre d’altres sistemes com el papir egipci o marques sobre fusta d’altres civilitzacions. Ens han permès conèixer molt bé la seva vida quotidiana, les seves lleis, llegendes i costums.
S’han desenterrat aproximadament un milió de tauletes, uns centenars tenen contingut numèric. Tracten de registres administratius, de negocis, de matemàtiques i astronomia.
El sistema de numeració babilònic
El sistema de numeració babilònic és, com el nostre, un sistema posicional. Això vol dir que un mateix símbol té diferents valors depenent la posició que ocupa, per exemple en el 342427 el 2 significa un cop 2000 i l’altre 20. És un sistema molt més potent comparat amb el sistema de numeració romana que s’utilitzarà posteriorment on els seus símbols, I, V, X, D, M tenen el mateix valor independentment de la seva posició.
Els mesopotàmics utilitzaven dos tipus de marques:
- El clau, que és una incisió prima i vertical que representa la unitat.
- L’espiga, una incisió en forma de triangle que tenia un valor de 10 unitats
Amb aquests dos signes es representaven de forma additiva els nombres fins al 59
Per quantitats més grans utilitzaven el mateix que encara fem servir amb les hores, minuts i segons. Un sistema posicional en base 60
La tauleta babilònica YBC 7289
Aquesta reproducció que podeu trobar a la botiga del nostre museu, manté la mateixa mida i el mateix material, de la tauleta original desenterrada a Mesopotàmia. Actualment, forma part de la col·lecció de la universitat de Yale.
Es considera que la tauleta va ser feta per un estudiant que visqué entre el 1800 i el 1600 aC.
Conté una aproximació, excepcional per la seva antiguitat i la seva precisió, de la diagonal d’un quadrat i, per tant, de l’arrel de 2
Així podem llegir les marques de la tauleta YBC 7289 situades sobre el dibuix d’un quadrat. S’observa que un costat del quadrat està marcat amb el 30, resulta que la diagonal d’un quadrat de 30 unitats de costat és aproximadament 42, quantitat que també apareix. Això ja ens indica que les marques són mesures del quadrat.
Els 3 números inferiors els podem llegir com 42 hores, 25 minuts i 35 segons, que és una forma simplificada de dir 42 unitats, 25 seixantenes parts de la unitat i 35 tres-centes-seixanta parts de la unitat. Numèricament és
42 + 25/60 + 35/(60*60) = 42,426388888…
que podem comparar amb el resultat obtingut fent servir el Teorema de Pitàgores
30*Arrel 2=42,42640687… Una diferència d’una deu-mil·lèsima!
Fent el mateix amb els 4 valors centrals interpretats com a 1 hora 24 minuts 51 segons i 10 seixantenes parts de segon.
1 + 24/60 + 51/(60*60) + 10/(60*60*60) = 1,41421296296…
Que correspon al valor de la diagonal d’un quadrat de costat 1 i numèricament podem comparar amb el càlcul fent servir Pitàgores: arrel 2=1,4142135624…
Una aproximació impressionant, exacte fins al sisè decimal, mil anys abans de Pitàgores.
Els mesopotàmics no van formalitzar aquest teorema, però utilitzaven perfectament. A més, l’exactitud de la mesura mostra que tenien un mètode numèric, que desconeixem, per obtenir aquest resultat.
La tauleta MM 367 del monestir de Montserrat
Aquesta tauleta, del segle XVIII aC, mostra com fa més de 4.800 anys que comptem el temps de 60 en 60.
Tot i estar molt deteriorada, gràcies a l’estudi comparatiu amb les moltes altres tauletes que també contenen taules numèriques, és possible reconstruir-la.
El seu contingut és fàcilment interpretable, i permet desxifrar el sistema numèric babilònic del qual encara avui ens en queda el rastre en la forma com comptem, de 60 en 60, els angles o les hores, minuts i segons.
A l’anvers a la columna central hi ha la seqüència 1, 2, 3, … 11 escrits amb el clau 1 i l’espiga 10 .
A l’esquerra els múltiples de 8: 8, 16, 32, 40, 48, 56
El producte 8×8=64 en lloc d’escriure’l amb 6 espigues i 4 claus, s’escriu amb un clau i 4 claus. És exactament per la mateixa raó que nosaltres en lloc de parlar de 64 segons parlem de 1 minut i 4 segons.
Utilitzaven un sistema posicional com el nostre en base 60 tot i que sense el símbol del zero, que va tardar molts segles a ser utilitzat.
A la part de darrere segueix el patró, així el primer producte 12×8 = 116 està escrit com un clau que val 60 i el 36 escrit amb 3 espigues i 6 claus.
És remarcable que el 19 trenca el patró, en lloc de escriure’l amb una espiga i 9 claus, s’escriu amb dues espigues i un clau per sobre, es a dir com a 20-1. Aquesta és una particularitat comuna a altres tauletes numèriques.
Per saber-ne més
- PLA, I CARRERA, Josep (2016). Història de la matemàtica: Egipte i Mesopotàmia. Barcelona. IEC. ISBN: 978-84-9965-308-2
- KRAMER, Samuel Noah (1956). La historia empieza en Sumer. Barcelona 1958. Descatalogat però es pot trobar amb una cerca a internet. Explica la vida de les societats mesopotàmiques a partir dels seus textos.
- NUMBERPHILE. Cuneiform Numbers. https://youtu.be/RR3zzQP3bII. Explica, entre altres coses, com fer les marques cuneïformes numèriques utilitzant pastelina i un pal de gelat.
- ELEANOR ROBSON, aquesta professora de la Universitat de Cambridge, ha preparat aquesta interessant activitat per estudiants de secundària https://motivate.maths.org/content/BabylonianMaths/
- La conferència i la presentació de David Pinyol i Enric Brasó: “Sherlock Homes al museu”