Posa les cares dels poliedres de forma que els colors de les cares en contacte coincideixin
- Ubicació: Sala Martin Gardner
- Edat mínima: a partir de 6 anys.
- Temps requerit: 5 minuts cadascun
- Nombre de participants: Una o més persones
- Paraules clau: permutacions, cub, dodecaedre
- Taxonomia: Geometria, Combinatòria
La coincidència de colors és als vèrtexs
La coincidència de colors és a les arestes
Com es poden combinar els colors a les cares?
El cas del cub
En el cas del cub, resulta que les permutacions circulars de 4 elements són justament 6. Pots posar ordenades sobre la taula les 6 cares amb un color sempre a la part de sobre per veure que efectivament no existeix una forma diferent d’aquestes 6 d’ordenar els 4 colors.
Coincideix que el cub té també sis cares i que és possible reconstruir-lo amb aquests sis quadrats de forma que coincideixin els colors.
Un cop resolt, fixa’t: Com són les cares oposades?
El cas del dodecaedre
En el cas del dodecaedre, les permutacions circulars de 5 elements són 24.
Podem sempre fixar un dels 5 colors en una posició. Ens queden 4 colors per combinar de totes les maneres possibles en les altres posicions, això són les permutacions de 4 elements que es calculen amb la clàssica fórmula de factorial de 4 4! = 4·3·2·1 = 24
Com que el dodecaedre té 12 cares, sols utilitzem la meitat de les cares possibles.
Treballant ordenadament de forma metòdica és possible reconstruir el dodecaedre en pocs minuts. Un cop resolt fixa’t com les cares oposades són simètriques. Així doncs, les 12 cares triades es poden aparellar cadascuna amb la seva simètrica.
En matemàtiques anomenem transposició al moviment consistent en intercanviar dos elements d’un conjunt ordenat. Sempre es pot passar d’una ordenació a una altra fent les transposicions que calgui.
Agafa dues cares qualssevol, pensa: Quines parelles de colors cal transposar per passar d’una cara a l’altra? Quantes transposicions has fet?
Comprovaràs que sempre ens han estat necessaris fer un nombre parell de transposicions. No trobaràs dues cares que es distingeixin sols per tenir dos colors intercanviats. Això és un resultat de la teoria matemàtica de grups!
El conjunt de les 24 cares amb totes les permutacions circulars de 5 colors s’anomena en matemàtiques grup simètric S4 . Té 12 elements amb paritat parella (l’element de referència i els que s’obtenen d’ell amb un nombre parell de transposicions) i 12 elements de paritat senar.
Les 12 cares on el que es demana és fer coincidir el color de les arestes. El repte de fer coincidir els vèrtexs seria similar amb una petita rotació.
Les 12 permutacions que no hem utilitzat i amb les que també podrien vestir el dodecaedre. S’han obtingut de les permutacions de l’esquerra intercanviant (transposant) el verd i el blau.